\documentclass{beamer}
\let\emphold=\emph
\sloppy
\usepackage{color}
\usepackage{tgpagella}
\usepackage{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\definecolor{db}{rgb}{0,.1,.45}
\def\emph#1{\emphold{\color{db}#1}}
\usetheme{Antibes}
\usepackage{beamerthemesplit}
\usepackage{xmpmulti}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
\title{Równania wielomianowe}
\institute{Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiello\'nskiego}
\author{Sławomir Cynk}
\date{20 marca 2009}


\usepackage{default}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage 
\begin{center}
Kraków
\end{center}

\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Równanie z jedną niewiadomą}
Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci 
\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\]
gdzie \emph{współczynniki} $a_0,a_1,\dots,a_n$ są elementami \emph{pierścienia}
(np. $\mathbb Z$) lub \emph{ciała} (np. $\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$)
współczynników.\pause

W teorii liczb często mamy do czynienia z wielomianami o współczynnikach z
pierścienia lub ciała $\mathbb Z/n$ reszt z dzielenia przez $n$.\pause

\textbf{Uwaga.} Wtedy wielomian i funkcja wielomianowa nie są tym samym, np.
wielomiany $z$ i $z^3$ dają te same funkcje wielomianowe dla ciała
współczynników $\mathbb Z/3$
ale są różnymi wielomianami (bo mają różne współczynniki).

\pause
Jeśli $a_n\not=0$, to liczbę $n$ nazywamy stopniem $\deg P$ wielomianu,
współczynnik $a_n$ nazywa się wtedy \emph(współczynnikiem wiodącym), natomiast
$a_0$ -- \emph{współczynnikiem inicjującym}.
Jeśli $a_n=1$ to $P(x)$ nazywammy wielomianem \emph{unormowanym}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Równania wielomianowe}
Równania postaci $P(x)=0$. Znajdowanie rozwiązań wymiernych (całkowitych)
równań wielomianowych jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych
(całkowitych) jest łatwe. Jeśli $a_o,\dots,a_n\in \mathbb Z$, a liczba wymierna
$\frac pq$ jest pierwiastkiem równania, $(p,q)=1$, to $a_0\mid p, a_n\mid
q$.\pause

\textbf{Równanie liniowe:} Bardzo proste. Ale jeśli rozwiązujemy w zbiorze reszt
modulo $n$ (czyli rozwiązujemy \emph{kongruencje liniowe}), to wypisanie
tabliczki dzielenia może być kłopotliwe. Kongruencja 
\[
ax\equiv b \pmod n
\]
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy $ (a,n)\mid b$. \pause
Istnieją wtedy liczby całkowite $k,l$ takie, że $(a,n)=ka+ln$. Stąd $ak\equiv
(a,n)\pmod n$, jeśli ponadto $b=d(a,n)$, to $a(kd)\equiv b \pmod n$.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Rówanie kwadratowe} Potrafili je rozwiązać starożytni hinduscy i
greccy matematycy. W starożytnym Babilonie rozwiązywano układ
równań $x+y=p, xy=q$ geometrycznie, konstrukcja sprowadzała się do 
\begin{enumerate}
 \item utworzenia $\frac{x+y}2$,
\item utworzenia $\left(\frac{x+y}2\right)^2$,
\item utworzenia $\left(\frac{x+y}2\right)^2-xy$,
\item utworzenia $\sqrt{\left(\frac{x+y}2\right)^2-xy}=\frac{x-y}2$,
\item wyznaczenia $x$ i $y$
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{François Viète (1540-1603)}
\begin{minipage}[t]{3cm}
 \vskip-1cm\includegraphics[width=3cm]{Francois_Viete.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\vskip-1cm Jako pierwszy podał
algebraiczną formułę na rozwiązanie równania kwadratowego. Wprowadził literowe
oznaczenia stałych w równaniach.Podał zależności między pierwiastkami równania
kwadratowego (zw. wzorami Viete'a)

\hfill\hfill  \(x_1+x_2=-\frac ba, x_1x_2=\frac ca.\)\hfill \hfill 

Wzory Viete'a zostały uogólnione na równania dowolnego stopnia.

\(\hfill\hfill \sum\limits_{i_1<i_2<\dots<i_k}x_{i_1}\dots
x_{i_k}=(-1)^k\ \frac{a_{n-k}}{a_n}\hfill\hfill\)
\end{minipage}
Aby rozwiązać równanie kwadratowe w danym zbiorze, musimy umieć znaleźć
pierwiastek kwadratowy z wyróżnika. W zbiorze liczb rzeczywistych nie zawsze
jest to wykonalne, dlatego właściwsze do rozwiązywania równań są liczby
zespolone.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Kongruencje kwadratowe}
Przy rozwiązywaniu kongruencji kwadratowych, musimy roztrzygnąć, czy dana
liczba jest resztą czy nieresztą kwadratową modulo $n$. Dla liczby pierwszej
$p$ połowa ($p-1$) reszt modulo $p$ jest resztą kwadratową, a połowa --
nieresztą.
Służy do tego symbol
Legendre'a (Jacobiego). 

\(\left(\frac np\right)=1\) gdy $n$ jest resztą kwadratową $\pmod n$

\(\left(\frac np\right)=-1\) gdy $n$ jest nieresztą kwadratową $\pmod n$
\pause 

\(\left(\frac {ab}n\right)=\left(\frac {a}n\right)\left(\frac {b}n\right),
\left(\frac {a}{nm}\right)=\left(\frac {a}n\right)\left(\frac {a}m\right)\)

\(\left(\frac{-1}n\right)=1\ \Leftrightarrow n\equiv 1 \pmod 4\)

\(\left(\frac{2}n\right)=1\ \Leftrightarrow n\equiv 1 \pmod 8\text{ lub }n\equiv
7 \pmod 8\)

\pause
Do jego wyznaczania można wykorzystać prawo wzajemności Gaussa.

\(\left(\frac nm\right)=(-1)^{\frac{(n-1)(m-1)}4}
\left(\frac mn\right)
\)
 \end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{wzory Cardana}
\textbf{Wzór Cardano dla równań trzeciego stopnia} (najprawdopodobniej otrzymał
od Tartaglii)
\begin{minipage}{.4\hsize}
 \includegraphics[width=4cm]{Cardan.jpeg}\\
\small Gerolamo Cardano
  (1501-1576)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.4\hsize}
 \includegraphics[width=4cm]{Tartaglia.jpeg}\\
\small Niccoló Tartaglia
 (1499-1557)
\end{minipage}

\pause
Cardano (inaczej Cardan), skonstruował przegub Cardana stosowany w wale Cardana
(obecnie stosowany w motocyklach)
\end{frame}
\begin{frame}
 \frametitle{Wzory Cardana}
Rozwiązując równanie  $ax^3+bx^2+cx+d=0$, dokonujemy najpierw podstawienie
$y=x+\frac a3$, pozbywając się współczynnika przy $x^2$. Podobnie w równaiu
stopnia $n$ możemy się pozbyć współczynnika przy $x^{n-1}$. \pause Rozważamy
rówanie
\[x^3+px+q=0.\]
Przyjmując  $x=u-\frac\lambda u$, zauważamy, że dla $3\lambda=p$ otrzymamy
równanie kwadratowe od $u^3$, oznaczając $u^3=z$ mamy
\[
z^2+qz-\frac {p^3}{27}=0
\]
Powyższe równanie nazywamy \emph{równaniem rozwiązującym}, a jego wyróżnik
$\Delta=\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}$ \emph{wyróżnikiem równania stopnia 3}.
\end{frame}
\begin{frame}
 \frametitle{Wzory Cardana}
Równanie stopnia 3 ma pierwiastek wielokrotny (podwójny, potrójny) wtedy i
tylko wtedy gdy $\Delta=0$. 

Równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste (liczone z krotnościami) wtedy i tylko
wtedy gdy $\Delta <0$.\pause

Rozwiązanie równania stopnia 3 sprowadza się do rozwiązania równania
kwadratowego, oraz wyznaczenia pierwiastka stopnia 3. Operacje te są dla liczb
zespolonych zawsze wykonalne. \pause Jednak w przypadku równania stopnia 3 o
współczynnikach rzeczywistych z $\Delta<0$ do wyznaczenia pierwiastków równania
konieczne może być wyznaczanie pierwiastków stopnia 3 liczb zespolonych. Jest
to tzw. przypadek nieprzywiedlny (\emph{casus irreducibilis})

\end{frame}


\begin{frame}
 \frametitle{Wzory Ferrariego}
Lodovico Ferrari (1522-1565)\\Wzór Ferrariego dla równań czwartego stopnia
również
został opublikowany (ukradziony) przez Cardano w \emph{``Ars Magna''} 
Rozwiązujemy równanie postaci \[x^4+px^2+qx+r=0.\]
Przekształcamy dla dowolnego $u$ do postaci
\[
x^4+ux^2+\tfrac{u^2}4=(u-p)x^2-qx+(\tfrac{u^2}4-r).
\]
Następnie dobieramy $u$ tak aby prawa strona była kwadratem, zachodzi to gdy
\[
q^2-4(u-p)(\tfrac{u^2}4-r)=0
\]
czyli
\[
u^3-pu^2-4ru+(4pr-q^2)=0. 
\]
Jest to tzw. równanie rozwiązujące.

\end{frame}
\begin{frame}
 \frametitle{Wzory Ferrariego}
Równanie rozwiązujące jest stopnia 3, możemy je więc rozwiązać korzystając ze
zworów Cardana.\pause
Znajomość pierwiastka $u_1$ równania rozwiązującego pozwala nam zredukować
równanie stopnia cztery do dwóch równań kwadratowych
\[x^2+\tfrac {u_1}2=\sqrt{u_1-p}(x-\tfrac q{2(u_1-p)})\] 
\[x^2+\tfrac {u_1}2=-\sqrt{u_1-p}(x-\tfrac q{2(u_1-p)})\] \pause
Zauważmy, że liczby $u_1,u_2,u_3$ są równe 
\[x_1x_2+x_3x_4,x_1x_3+x_2x_4,x_1x_4+x_2x_3,\]
te ostatnie wyrażenia są niezmiennicze (jako zbiór trzech liczb) ze względu na
na permutacje zbioru $\{1,2,3,4\}$.
\end{frame}
\begin{frame}
 \frametitle {Twierdzenie Bezoute'a}
\begin{minipage}[t]{3cm}
 \vskip-5mm\includegraphics[width=3cm]{Francois_Viete.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\vskip-5mm
\small Étienne Bézout
(1730---1783)\\
\emph{Reszta z dzielenia wielomianu $P(x)$ przez dwumian $x-a$ jest równa
$P(a)$}.

Inna postać: \\
\emph{ liczba $a$ jest pierwiastkie wielomianu $P(x)$ wtedy i
tylko wtedy gdy $(x)$ dzieli się bez reszty przez $(x-a)$}.

Znajomość jednego pierwiastka równania stopnia $n$, pozwala nam zredukować
to równanie do równania stopnia $n-1$.
\end{minipage}
\pause
Pierwiastkami największego wspólnego dzielnnika $Q$ wielomianów $P(x)$ i $P'(x)$
są wielokrotne pierwiastki wielomianu $P$ ale z krotnością o jeden mniejszą,
czyli wielomian $P/Q$ ma te same pierwiastki co $P$, ale wyłącznie krotności 1.
\pause
Korzystająć z algorytmu euklidesa możemy sprowadzić równanie, do równania o
tych samych pierwiastkach, ale wyłącznie pojedynczych.
\end{frame}
\begin{frame}
 \frametitle{Wielomiany parzyste, nieparzyste, symetryczne etc.}
Równanie wielomianowe pochodzące od równania mającego dodatkowe własności,
można zredukować do równania stopnia niższego.

\textbf{Wielomian parzysty:} Jeśli $P(x)$ jest wielomianem parzystym stopnia
$n$, to można go zapisać w postaci $Q(x^2)$, gdzie $Q$ jest wielomianem stopnia
$\frac n2$.  \pause

\textbf{Wielomian nieparzysty:} Jeśli $P(x)$ jest wielomianem parzystym stopnia
$n$, to można go zapisać w postaci $XQ(x^2)$, gdzie $Q$ jest wielomianem stopnia
$\frac {n-1}2$.  \pause

\textbf{Wielomian symetryczny:} jest to taki wielomian, że $a_k=a_{n-k}$, czyli
$P(x)=P(\frac 1x)x^n$. Wielomian symetryczny stopnia parzystego można zapisać
w postaci $P(x)=Q(x+\tfrac1x)x^{n/2}$, gdzie $Q$ jest wielomianem stopnia
$\tfrac n2$, natomiast wielomian symetryczny stopnia nieparzystego można
zapisać w postaci $P(x)=(x-1)Q(x+\tfrac1x)x^{n-1/2}$, gdzie $Q$ jest
wielomianem stopnia
$\tfrac {n-1}2$.
\end{frame}
\begin{frame}
 \frametitle{Zasadnicze Twierdzenie Algebry}
\begin{minipage}[t]{3cm}
 \vskip-5mm\includegraphics[width=3cm]{Gauss.jpeg}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\vskip-10mm Johann Carl Friedrich Gauss
(1777---1855).

\emph{Dowolny wielomian (dodatniego stopnia) o współczynnikach zespolonych, ma
pierwiastek zespolony}.

Inna postać:
\\
\emph{Wielomian o współczynnikach zespolonych stopnia $n$ ma dokładnie $n$
pierwiastków zespolonych liczonych z krotnościami}.

\end{minipage}
Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że dowolny wielomian o
współczynnikach zespolonych rozkłada się na iloczyn wielomianów liniowych,
natomiast wielomian o współczynnikach rzeczywistych, na iloczyn wielomianów
liniowych i kwadratowych (o ujemnym wyróżniku).
\end{frame}


\begin{frame}
   \frametitle{Ciąg Sturma}
\begin{minipage}[t]{3cm}
 \vskip-5mm\includegraphics[width=3cm]{Sturm.jpeg}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\vskip-8mm Charles Sturm (1803-1855)

Podał metodę znajdowania liczby
pierwiastków rzeczywistych równania wielomianowego znajdujących się w
danym przedziale.\pause

Przyjmujemy $f_{0}=P, f_{1}=P'$ i definiujemy
indukcyjnie $f_{n+2}$ jako przeciwny do reszty z dzielenia $f_{n}$
przez $f_{n+1}$.\pause
\end{minipage}


    Następnie liczymy liczbę zmian znaku w ciągu $f_{i}$
na końcu i na początku przedziału. Różnica jest liczbą pierwiastków w
przedziale. \pause

\textbf{Przykład}:\\ $P=x^2-x-2$, ciąg Sturma ma postać $x^2-x-2, 2x-1, \frac
74$.\pause\\
Znaki: $(+-+)$ dla $x<-1$, $(--+)$ dla $x\in (-1,1/2)$, 
$(-++)$ dla $x\in (1/2,2)$ oraz $(+++)$ dla $x>2$,  
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Równania stopnia piątego i wyższego}
\begin{minipage}{.48\hsize}
 \includegraphics[width=4cm]{Abel.jpeg}\\
\small  Niels Henrik Abel (1802---1829)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.48\hsize}
 \includegraphics[width=4cm]{Galois.jpeg}\\[3mm]
Évariste  Galois
(1811---1832).
\end{minipage}


\textbf{Nie istnieją wzory na rozwiązania równań piątego i wyższych stopni:} 
Twierdzenie Abela--Rufinniego (dowiódł Abel w 1821
  roku) 

\end{frame}


\end{document}
